我想换个手机哪一款好

从广义相对论回到牛顿力学：《张朝阳的物理课》推导低速弱场近似下的粒子运动

引言

在物理学中，从广义相对论（GR）回到牛顿力学是一个重要的课题，尤其是在处理低速弱场条件下的物体运动时。张朝阳的《物理课》系列以其深入浅出的风格，解释了复杂的物理概念，尤其是对普通读者和学生而言，是理解这些深奥概念的极佳入门之书。本文将尝试通过《张朝阳的物理课》的风格，从广义相对论的基本概念出发，演示如何推导出低速弱场近似下的粒子运动方程，最终回到经典的牛顿力学框架。

第一步：广义相对论的基本概念

广义相对论是爱因斯坦提出的一种描述引力的理论，它基于时空的弯曲来解释物质的运动。其基本方程为爱因斯坦场方程：

\[ G_{\mu\nu} \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

其中，\( G_{\mu\nu} \) 是爱因斯坦张量，描述时空的几何性质；\( \Lambda \) 是宇宙学常数；\( g_{\mu\nu} \) 是度规张量；\( G \) 是引力常数；\( c \) 是光速；\( T_{\mu\nu} \) 是能动量张量，描述物质和能量的分布。

在低速弱场近似下，我们假设引力场的强度较弱且速度较慢，这样爱因斯坦场方程可以简化为牛顿引力定律形式。

第二步：低速弱场近似的推导

在低速弱场近似下，度规可以表达为：

\[ g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} h_{\mu\nu} \]

其中，\( \eta_{\mu\nu} \) 是 Minkowski 度规（特殊相对论中的度规），\( h_{\mu\nu} \) 是小量，描述了引力场的扰动。

爱因斯坦场方程在低速弱场近似下变为：

\[ \Box h_{\mu\nu} = \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

这里的 \( \Box \) 是 d'Alembert 算符。我们假设物体的质量分布是稀疏的，可以将 \( T_{\mu\nu} \) 近似为质点的能动量张量。

第三步：粒子的运动方程

为了推导粒子在引力场中的运动方程，我们考虑粒子的作用量：

\[ S = mc \int \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} \, d\tau \]

其中，\( m \) 是粒子的质量，\( \dot{x}^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} \) 是四维速度，\( \tau \) 是固有时。

在低速近似下，我们可以展开度规 \( g_{\mu\nu} \) 和作用量 \( S \)，保留到一阶项：

\[ S \approx mc \int \left( 1 \frac{h_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu}{2} \right) \, d\tau \]

\[ \approx mc \int \left( 1 \frac{h_{00}}{2} \frac{h_{ij}}{2} \dot{x}^i \dot{x}^j \right) \, d\tau \]

其中，\( h_{00} \) 和 \( h_{ij} \) 是度规的分量。

第四步：运动方程的推导

通过变分原理，可以得到粒子的运动方程。考虑到低速近似下的度规展开和作用量展开，可以得到粒子在低速弱场近似下的运动方程为：

\[ \frac{d^2 x^i}{dt^2} = \partial_i \Phi \]

其中，\( \Phi \) 是牛顿引力势，由引力场的度规分量 \( h_{00} \) 决定：

\[ \Phi = \frac{1}{2} h_{00} \]

这就是牛顿引力定律的形式，说明在低速弱场近似下，引力场的效应可以通过经典的牛顿力学来描述。

结论

通过以上推导，我们从广义相对论出发，考虑了低速弱场的近似条件，最终回到了牛顿力学的框架。这个过程展示了物理学中如何从复杂的理论推导出我们熟悉的简单规律，同时也展示了《张朝阳的物理课》系列中对于深奥概念的易于理解和解释的风格。

在学习和理解物理学中的各种理论时，像《张朝阳的物理课》这样的著作可以帮助读者建立直观且深入的理解，使得看似复杂的物理现象变得更加清晰和容易掌握。